[ Pobierz całość w formacie PDF ]
–63–
Podstawymatematykidlainformatyków
Wstępdologiki
Proponowanaliteratura
Podręczniki:
[1] AlonzoChurch,
Introduction toMatematical Logic
,PrincetonUniversityPress,1956
[2] AndrzejGrzegorczyk,
Zaryslogikimatematycznej
,W-wa1969,
[3] AndrzejMostowski,
Logikamatematyczna
,MonografieMatematycznet. XVIII,W-wa1948,
[4] JerzyTiuryn,
Wstępdoteoriimnogościilogiki
,Wrocław2000,
[5] HelenaRasiowa,RomanSikorski
The mathematics of methamathematics
, MonografieMa-
tematycznet. XLI,PWNW-wa1968,
[7] HelenaRasiowa,
Wstępdomatematyki współczesnej
,PWNW-wa2003,
[7] ZofiaAdamowicz,PawełZbierski,
Logikamatematyczna
,PWNW-wa1991,
[8] AgnieszkaWojciechowska,
Elementylogikiiteoriimnogości
,PWNW-wa1979.
Zbioryzadań:
[1] Igor A.Ławrow, ŁarisaL.Maksimowa,
Zadania z teorii mnogości, logiki matematycznej i
teoriialgorytmów
,PWNW-wa2004,
[2] JanuszOnyszkiewicz,WiktorMarek,
Elementylogikiiteoriimnogości
,PWNW-wa2004.
–64–
Zaryshistoriilogiki
Słowo logika jest dziś używane tak często, że trudno sobie wyobrazić możliwość dyskusji
czy też jakichkolwiek badań bez odwoływania się do treści jakie słowo to oznacza. Na ogół
wypowiadane jest ono bezrefleksyjnie i zwykle w sytuacji, która ma podkreślić poprawność
wywodumówcy, bądźwykazaniabrakutakiejpoprawnościuadwersarza. Tegorodzajuodwo-
łanie wydaje się argumentem ostatecznym, który rozstrzyga o sensie lub jego braku w przed-
stawianejargumentacji.
Droga myśli ludzkiej do stanu, gdy zaczęły funkcjonować zasady logiki jest, patrząc na
rozwójcywilizacjiludzkiej,dośćdługa. Zwyklelogikakojarzonajestzkonsekwencjąwywodu,a
konsekwencji takiej wymagała od zawsze matematyka. Stąd podwaliny rozumowania zwanego
dzisiajlogicznymznajdujemywzachowanychpracachmatematyków,gdziedodajmy,matematyk
ówczesnytonietylkomatematykwdzisiejszymrozumieniu,aleczęstotakżefilozof,astronomi
fizyk.
W matematyce przedgerckiej, której materialne dowody istnienia są dziś znane, choćby
poprzez wytworzone przez tę matematykę pojęcia takie jak pojęcie liczby całkowitej i miary
wielkości, z którymi spotykamy się w dokumentach egipskich czy chaldejskich, pojęcia logicz-
ne nie są wyraźnie eksponowane. Jednak bez elementów rozumowania logicznego nie byłoby
wynikówbabilońskiejalgebry,którejrezultatydawałymożliwośćrozwiązywaniazagadnieńprak-
tycznych. Chociaż wyniki matematyków przedgreckich nie zawierały dowodów w dzisiejszym
rozumieniu, to zawierały one wysoki poziom ogólności, dziś powiedzielibyśmy – abstrakcji.
Wyniki te nie powstałyby, gdyby nie istniał pewien poziom powiązań logicznych. Możemy
zatemmówićopewnejintuicjonistycznejlogice,pozbawionejformalizmów.
Najstasze śladycywilizacji, codoktórych istniejedokumentacjamaterialna określasięna
około 3 000 lat przed Chrystusem. Dotyczą one starożytnego Egiptu oraz Babilonu. Niemal
równocześnieznimirozwijałysiękulturynaterenachdzisiejszychIndiiiChin. Zachowałysięz
owychczasównielicznedokumentyzawierająceświadectwaistnienianatychterenachpierwszych
próbrozwiązywania problemów praktycznych z pomocąmatematyki. W papirusachegipskich
informacjeprzekazywane sąjużwpostacizdań. Toprawda,żedokumenty tesporządzalinaj-
bardziejwykształcenimieszkańcyEgiptu–pisarze,wykształceniwszkołachzwanychuroczyście
szkołamiżycia
. Jednakjaktozauważyliśmypoprzedniobardziejwykształceniludzieposługiwali
się zdaniami. Współcześnie zaś można odnieść wrażenie, że tylko niewielka część populacji
ludzkiejposługujesięzdaniamijakosposobemkomunikowania.
Międzi innymi potrzeba zaprowadzenia porządku formalnego w języku codziennym była
powodem rozwoju nauki, w tym rozwoju wiedzy na temat tworzenia i oceny zdań. Wraz z
rozwojem cywilizacyjnym ludzkości pojawia się refleksja nad zasadami poprawnego myślenia i
występujewdziejachmyśliludzkiejwmniejskrystalizowanejformieodwczesnejstarożytności.
Dotyczytonietylkojednegoośrodkakultury,bodziejesiętakwChinachwokresieodVdoIII
wiekuprzednasząerą,atakżewIndiach,gdziepowstałabramińska
szkołanjaja
orazbuddyjska
szkoła madhjamików
. W Grecji w wiekach V i IV przed Chrystusem powstała i rozwijała się
logika,jakopomocniczadyscyplinanaukowa,użytecznaprzyprzeprowadzanidowodów,uzasad-
nianiuiobalaniutwierdzeń. Zkolei
Euklides
żyjącywIVwiekuprzedChrystusemprzedstawił
–65–
geometrięjakoteorięaksjomatyczną,posługiwałsiętakżedowodamiapagogicznymi. Natomiast
początkirachunkuzdańwystępująwpracach
Chryzypa
zIIIwiekup.n.e. [9].
Matematykagreckazasłużyłasięmiędzyinnymitym,żedążyładosformalizowaniaiupo-
rządkowania dowodów matematycznych. Ponadto starano sięo uporządkowania wiedzy mate-
matycznej w ten sposób, by przejście od od jednego do następnego etapu nie pozostawiało
miejscedlawątpliwości ibyłopowszechnieodbieranejako poprawne. Odczasów Archimedesa
mamy zaś do czynienia z uzasadnieniami znalezionych wyników, które w niczym zasadniczym
nieróżniąsięodwspółczesnychdowodów. Należy podkreślić,żededukcyjnemetodybadawcze
można dostrzec w ostatecznej niemal postaci w szkole pitagorejskiej. Od metody dedukcyjnej
rozpoczynasięistnienielogikiformalnej,mającejjakoswoistywzorzecmatematykę. Wefekcie
rozwijanialogikiformalnejzostająskonstruowanesformalizowanejęzyki,ajednocześniewyniki
uzyskanewlogiceformalnejdająimpulsdobadańnadpodstawamimatematyki–ztym,żete
ostatniepracezostałyrozpoczętedopierowXIXwieku.
Filozofowie greccy strarali się znaleźć metody porządkujące myśl ludzką, w sczególności
dotyczyło to sposobów wyrażania się, czego wyrazem była retoryka. Mówiąc wprost poszuki-
wano tego, co dziś nazywamy logiką. Wynikiem tych poszukiwań jest coraz większa jasność
i precyzja wywodu. Pojawiają się wtedy pierwsze zasady mogące stanowić podstawę dialek-
tyki. Prekursorami są tu
Parmenides
i
Zenon z Elei
. Ważną rolę w rozwoju logiki odegrały
w starożytnej Grecji praktyki krasomówcze, które zmuszały oratorów do analizy języka. Na
tym polugłównezasługipołożylisofiści. Zkolei
Arystoteles
uczeń
Platona
, stworzył dzieło, w
którymdokonałsystematyzacjisposobówrozumowaniaorazkodyfikacjitychreguł. Arystoteles
pierwszyodkryłpewneszczególne regułykonstrukcji
złożonych zdań orzekających
,prowadzące
do zdań złożonych, które są prawdziwe niezależnie od tego jakie konkretne zdania orzekające
zostałyużytejakozdaniaskładowe. UniwersalizmpracArystotelesapolegałgłównienatym,że
wskazałonsposóbwjakikażdepoprawnerozumowaniemożnasprowadzićdostosowaniapewnej
niewielkiej liczby regułniezależnych odnaturyobiektów, których onedotyczą. Teregułykon-
strukcjizdańzłożonych zwanesą
sylogizmami Arystotelesa
[6]. Współcześniesylogizmy należą
do
rachunkukwantyfikatorów
isązwykleobjaśnianeprzyomawianiurachunkukwantyfikatorów.
Wkładem Arystotelesa w rozwój logiki jest także to, że po raz pierwszy rozgraniczył on rolę
zdań ogólnych od roli zdań szczegółowych. Dziś możemy powiedzieć, że dał od podstawy dla
późniejszegowprowadzeniakwantyfikatorów.
Gronofilozofówzwanych
perypatetykami
,którerywalizujączestoikamistworzyłoto,codziś
nazywamyrachunkiemzdań. Zasługatychfilozofówpoleganaanaliziezdańnieokreślonychtj.
takich, któredziś wyrażamy posługującsię symbolikąliterową. Zbudowali oni ponadtokanon
regułniemożliwychdodowiedzeniaprzyużyciumetodjakiedziśuważamyzanowoczesne. Jed-
nakżeichsposobyrozumowaniauległyponiedługimczasiezapomnieniu. Dopierodziwiętnasto-
wiecznilogicy odnaleźliw tych wynikach drogęwiodącądologiki jakąposługujemysięwspół-
cześnie. Tooddziewiętnastowiecznychlogikówpochodząuniwersalneschematykonstrukcjizdań
orzekających,prawdziwychniezależnieodtreściskładowychzdańorzekających. Takimiwłaśnie
zdaniamizajmujesię
rachunekzdań
.
Rozwój algebry doprowadziłdosytuacji, wktórejsamenasuwałysięanalogie wstosunku
do logiki. Tak w logice formalnej jak i w algebrze występowały prawa odnoszące się do tzw.
obiektówniesprecyzowanych–wjednymprzypadkuzdańwdrugimliczb. Pouporządkowaniu
–66–
symbolikilogicznej wXVIIwieku (cogłówniebyłodziełem
Viete’a
i
Kartezjusza
) zaczęły po-
jawiać się próby pisma symbolicznego, którego celem było przedstawienie operacji logicznych.
Jednak dopiero
Leibniz
dokonał w tym procesie istotnego postępu. Należy podkreślić, że był
onzarównowybitnymfilozofemjakimatematykiem. Jegozainteresowania formalizacjąjęzyka
imyślidawałyciągłyimpulsdobadańnadlogikąformalną. Wwielupróbachuporządkowania
dotychczasowychosiągnięćlogikiLeibnizodwoływałsiędoswoichdoświadczeńalgebraicznych.
Jednymzważniejszychjegoosiągnięćnatympolujestprzedstawienieprawrachunkuzbiorówz
wykorzystaniemprawlogiki. Zjednejstronydałotoimpulsdoposzukiwanianowychwyników
nagrunciealgebry,zdrugiejzaśbyłopowodemmodyfikacjijęzykalogiki. Wkonsekwencjiprace
Leibniza doprowadziły do zainteresowania tematyką logiczną wielu myślicieli, wśród których
GeorgeBoole
możebyćuważanybezsporniezatwórcęnowożytnejsymbolikilogicznejinowożyt-
nej logiki. Dodajmy, że jest wtedy wiek dziewiętnasty. Wprowadzone przez Boole’a operacje
zwaneodjegonazwiskaboolowskimipozwalająnapowiązanieproblemówalgebraicznychzprob-
lemamilogicznymi. Kolejnyetaptowprowadzeniezmiennychikwantyfikatorów,cojestzasługą
Fregego i Pierce’a. W tym przypadku motywacja była jasno sprecyzowana. Chodziło o zas-
tosowanielogikidopodstawmatematyki. ZkoleiPeanoprzystąpiłdobudowysformalizowanego
języka matematyki przyużyciu, którego wyraził wszystkienajważniejsze jej osiągnięcia. Choć
celtenwydawałsiędośćutylitarny, todoprowadziłwefekciedoprzyjęciaprzezmatematyków
nietylkosymbolikiPeano,alerównieżwieluwprowadzonychprzezniegopojęć. PraceFregego
i Peana doprowadziły do takiego stadium, w którym możliwe było sprecyzowanie elementów
języków sformalizowanych używanych współcześnie. Ukoronowaniem tej drogibyły wynikiza-
warte w dziele
„Principia Mathematica”
autorstwa
Russela
i
Whiteheada
. W tym przypadku
nastąpiło połączenie wszystkich dobrych cech prac Fregego i Peana. Wyniki tych logików
stanowiąfilarwszystkichużywanychobecniejęzykówformalnych.
Podsumowując,zauważmyjakdługądrogęprzebyćmusiałludzkiumysłitoumysłniepoś-
ledni, by wypracować język komunikacji wolny od szczegółowych cech opisywanych obiektów.
Droga rozwoju logiki, to równocześnie droga poszukiwania abstrakcyjnych, a więc przez to
obiektywnych, środków opisu zjawisk. Z dzisiejszego punktu widzenia niektóre problemy lo-
giczne badane w przeszłości wydają się nieistotne, czy łatwe. Jednak docenić należy geniusz
umysłów ludzi, którzy otworzyli drogę do rozwoju myśli. Dziś nikt z użytkowników sprzętu
elektronicznego nie zastanawia się nad głębią myśli, która doprowadziła do jego skonstruowa-
nia. Sformułowania„sprzęt nowoczesny”, „nowoczesny program”, „współczesnainformatyka”,
„postęp w naukach biologicznych” na ogół przyjmowane są bezrefleksyjnie. Nie byłoby ich na
pewno,gdybyzabrakłometodyopisu,narzędziwnioskowania,czywreszciesposobunawyrażenie
myśli. Zatemjeśliistniejejakieśokreślenieopisującenieformalnielogikę,tojestonazpewnością
systemem nerwowym dla organizmu jaki stanowią ludzkie myśli. Skoro już patrzymy w ten
sposóbnaprzedmiot, któremu poświęcimy przynajmniejjedensemestr, topopatrzmy również
naniegojakonadziedzictwoludzkiejmyśliwjejnajlepszymwydaniu.
–67–
Literatura
[1] N.Bourbaki–
Elementyhistoriimatematyki,
PWNWarszawa1980,
[2] A.P. Juszkiewicz –
Historia matematyki (od czasów najdawniejszych do początku czasów
nowożytnich)
,Tom1,PWNWarszawa1975,
[3] S.Kulczycki–
Zdziejówmatematykigreckiej
,PWN1973
[4] I. Lakatos –
Proofs and Refutations. The Logic of Mathematical Discovery
, Cambridge
UniversityPress,1976,
[5] V. Lackshmikantham and A.S. Vatsala –
The origin of mathematics,
Nonlinear Studies,
Vol. 5,No. 2,1998,
[6] A.Mostowski–
Logikamatematyczna
,MonografieMatematycznet. XVII,str. 125-129
[7] R.Murawski–
Filozofia matematyki –zarysdziejów
,WydawnictwoNaukowePWN1995,
[8] WielkaEncyklopediaPowszechnaPWN,Tom5,str. 296,
[9] WielkaEncyklopediaPowszechnaPWN,Tom6,str. 583,
Ważneosobyidatywrozwojulogiki
•
ARYSTOTELES,(
∗
384r. przedChrystusem,StaginawMacedonii–
†
322p. Chrystusem,
ChalcisnagreckiejwyspieEuboea)
,częścimowy,sylogistyka.
•
265r. przedChrystusem,
Alekandria w Egipcie)
, geometria jako teoria aksjomatyczna, dowód nie wsprost (apago-
giczny)(
częstomylony zEuklidesemzMegary, filozofembadającym istotę dobra, któryżył
około100latwcześniej
).
∗
325r. przedChrystusem,AlexandriawEgipcie–
†
•
stoicy, CHRYZYP, (
∗
260 r przed Chrystusem, Soloj w Cylicji –
†
206 Soloj)
,początki
rachunkuzdań.
•
JohnDunsSCOTUS,(
∗
1266,DunshrabstwoLothianwSzkocji–
†
1308,KoloniawNiem-
czech)
,(franciszkanin),prawo:
∼ p →
(
p → q
).
•
ChristopherCLAVIUS,(
∗
1538,BambergwBawarii–
†
1618,Rzym)
,(jezuita),komentator
Euklidesa,prawo:
(
∼ p → p
)
→ p
.
•
1856 Kazań w
Rosji)
,
Janos BOLYAI (
∗
1802 Koloszvar w Austowęgrzech obecnie Cluj w Rumunii –
†
∗
1792 Niżnyj Nowgorod w Rosji–
†
1860MarosvasarheleywAustrowęgrzech obecnieTˆarguMureswRumunii)
,każdyznich
niezależnie wskazałnaniepełność(niezupełność)teoriiaksjomatycznych, pierwszymprzy-
kładembyłageometrianieeuklidesowa.
•
1864 Ballintemple hrab-
stwoCountryCorkwIrlandii)
,
„The Mathematical Analysis of Logic” (1847), „AnInves-
tigationoftheLawsofThought” (1854)
.
∗
1815 Lincoln hrabstwo Lincolnshirew Anglii–
†
•
1916 Braun-
schweigwNiemczech)
,nowoczesnateorialiczbalgebraicznych,prakrojeDedekinda.
∗
1831 Braunschweig w Niemczech –
†
•
ErnstSCHRODER(
∗
1841ManheimwNiemczech–
†
1902KarlsruhewNiemczech)
,metoda
zoro-jedynkowa,tabelkiSchr¨odera.
EUKLIDES,(
Nikołaj Iwanowicz ŁOBACZEWSKI (
George BOOLE (
Julius Wilhelm Richard DEDEKIND (
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

slaveofficial.keep.pl